在数学史上，有一个看似简单却困扰人类300多年的问题：“一个球最多能被多少个大小相同的球同时接触？”这个问题被称为“亲吻数问题”（Kissing Number Problem）。自牛顿于1694年首次提出以来，它已成为离散几何领域最具代表性的开放问题之一，并与球堆积、编码理论、高维几何以及材料科学中的原子排列密切相关。随着维度提升，该问题的复杂性急剧增长。其挑战不仅在于寻找更优的球体排列，更在于从庞大的构型空间中发现隐藏的几何规律。过去300多年中，数学家们通过晶格、群论和编码理论等方法取得了重要进展，但许多关键维度的最佳结果已保持数十年，进一步突破往往需要新的结构视角。如今，来自北京大学、上海科学智能研究院等机构的研究团队提出了一种新的 AI 辅助数学发现范式。他们开发的博弈论强化学习系统 PackingStar系统性的探索了高维几何空间中的潜在结构，帮助发现了新的数学对象——“极值构型空间”（extremal configuration space）。基于这一新视角，PackingStar 在亲吻数及相关球面编码问题中突破长期保持的最佳界限，刷新40多项历史记录，其中包括多个保持数十年的结果。
图1，PackingStar帮助发现了新的数学对象及所取得的结果
从牛顿时代的问题到现代 AI
亲吻数问题起源于1694年牛顿与格雷戈里（David Gregory）关于球体接触上限的讨论，其核心是在 n 维空间中，确定一个单位球周围最多能够放置多少个大小相同且互不重叠、同时与中心球相切的球。这一看似简单的几何问题，实际上连接着离散几何、球堆积、编码理论和高维信息表示等多个领域。在低维空间中，数学家已经解决了一些特殊情形；但随着维度升高，可能的排列数量呈指数增长，构型空间迅速变得庞大而复杂。传统方法依赖高度结构化的数学构造，例如晶格、群对称性和特殊编码，这些方法取得了许多重要成果，但在更高维情形下，如何发现新的有效结构仍然是一个核心挑战。
把几何问题变成一场博弈
为了探索高维空间中的隐藏结构，研究团队设计了 PackingStar——一种基于博弈论强化学习的多智能体系统。其核心思想是将亲吻数问题重新表述为一个矩阵补全博弈。球体之间的几何关系可以由 Gram 矩阵表示，其中矩阵元素描述球心之间的相互关系，而整个矩阵必须满足半正定性、不重叠等数学约束。因此，寻找更大的亲吻数组型，本质上转化为寻找满足几何规律的高质量矩阵结构。在这一框架中，两个智能体形成协作闭环。填充智能体（Filler）负责生成和探索潜在结构，在巨大的构型空间中寻找新的可能；修正智能体（Corrector）则负责分析当前结构，识别不符合约束或贡献有限的部分，并提供反馈指导下一轮搜索。这种设计的关键在于将数学约束直接融入探索过程，使 AI 不必在海量无效组合中盲目尝试，而是在“生成—修正”的循环中不断缩小有效搜索空间，逐步提炼出更具潜力的几何结构。通过这一合作博弈机制，原本依赖人工构造和经验搜索的高维几何问题，被转化为一个可训练、可优化的智能体协作任务。
图2，PackingStar整体框架
PackingStar 如何借助 GPU 放大研究能力
PackingStar 的突破不仅来自双智能体强化学习算法，也来自针对 GPU 架构重新设计的计算体系。对于亲吻数问题而言，真正的挑战并非神经网络推理本身，而是随着维度提升而急剧增长的高维几何搜索空间：系统需要在海量可能构型中持续探索、验证和学习，并从中发现具有数学意义的新结构PackingStar 将亲吻数问题转化为基于 Gram Matrix 的矩阵填充过程。在这一过程中，智能体需要不断生成候选结构、执行严格的几何约束验证，并维护大规模可行状态集合。随着问题规模增长，候选动作数量和状态空间迅速扩张，环境交互、约束计算以及状态管理逐渐成为限制系统扩展的核心瓶颈。为突破这一限制，研究团队围绕高维几何搜索中的关键计算环节重新设计整个系统，包括可行结构的并行计算、动态状态的高效维护，以及大规模环境采样与策略学习。通过充分利用 GPU 在大规模并行计算、高带宽内存访问和多 GPU 协同方面的优势，PackingStar 能够在单位时间内探索更广阔的构型空间，并积累更丰富的强化学习经验。接下来，将介绍 PackingStar 如何通过三个关键 GPU 优化方向突破高维数学搜索中的计算瓶颈。
1、并行计算可行解
对于 Filler 智能体而言，每一次决策都需要首先确定当前 Gram Matrix 状态下所有满足几何约束的合法扩展位置。系统首先生成当前状态能够扩展出的候选动作，并对每个候选矩阵进行严格的数学验证，包括矩阵秩是否保持约束、Gram Matrix 是否仍满足半正定性质。随着维度提升，单个状态对应的候选数量迅速增长，可达到百万级甚至更高规模，而不同候选之间不存在数据依赖，因此天然适合进行大规模并行计算。
PackingStar 利用 GPU 的高度并行架构，将候选动作组织为批量张量，并同时执行大规模几何约束检查，使大量候选能够在单次计算过程中完成验证。相比传统 CPU 逐个枚举候选的方法，这种批量并行策略显著提高了候选生成与筛选吞吐，使智能体能够探索更大的动作空间。然而，在超大规模候选验证任务中，计算瓶颈并不只来自算术运算本身。通用深度学习框架中的频繁张量构造、临时变量分配、全局显存读写以及 Kernel Launch 开销，会在高频环境交互过程中产生显著额外成本。
为进一步突破性能限制，研究团队针对候选生成与几何约束验证流程中的计算模式进行了底层优化，并设计了定制化 CUDA Kernel ，并通过 Kernel Fusion，将多个连续计算步骤合并为单次 GPU 执行；同时利用寄存器和 Shared Memory 缓存中间计算结果，减少不必要的全局显存访问，仅在必要阶段写回最终结果。这种针对计算图和 GPU 内存层级的联合优化，大幅降低了数据传输开销，提高了单次候选验证的执行效率。
经过优化后，单 GPU 上的可行解计算速度提升约 10 倍以上，使 Filler 智能体能够在相同时间内评估更多候选动作，并覆盖更广泛的局部结构空间。当问题规模进一步扩大时，PackingStar 将候选搜索空间划分到多张 GPU 上并行处理。每张 GPU 独立负责不同子空间的候选生成与约束验证，并在最终阶段汇总有效扩展结果。针对不同搜索区域计算负载不均衡的问题，系统进一步引入动态任务调度机制，根据实时计算状态在 GPU 之间调整任务分配，使整体资源利用率保持稳定。通过这种从单 GPU 优化到多 GPU 扩展的系统设计，PackingStar 实现了计算能力与探索规模的同步增长，使 AI 能够持续探索更高维、更复杂的几何结构空间。
图3，定制化 CUDA Kernel及关键信息预缓存（图截取自纪录片）
2、高效维护可行解空间
在 PackingStar 中，限制系统规模的关键并非神经网络计算，而是矩阵填充过程中需要持续维护的大规模可行状态空间。对于每一个当前 Gram Matrix 状态，系统都会动态计算并保存所有满足几何约束的合法扩展。这些可行状态不仅构成智能体下一步决策的候选集合，也避免了环境交互过程中反复搜索相同空间，从而显著减少冗余计算。然而，随着维度提升，可行状态数量快速增长，状态存储规模、显存容量以及 GPU 内存访问带宽逐渐成为扩展系统规模的主要瓶颈。一种简单方案是使用高精度数值格式完整保存所有状态，以确保后续计算的稳定性。但在大规模探索场景下，这种表示方式会显著增加单个状态的存储开销，并导致更高的显存占用和数据传输压力，从而限制 GPU 能够同时维护的活动状态数量。
为解决这一问题，PackingStar 将状态表示与数学验证过程进行解耦，设计了一种自适应状态管理机制。对于主要用于探索和扩展的中间状态，系统采用紧凑的数据表示形式，以降低 memory footprint 并提升 GPU 内存访问效率；而在涉及关键几何约束判断时，再根据需要恢复更高精度表示，并执行严格的数学验证。这种“紧凑表示—精确验证”的策略，在保证数学可靠性的同时，大幅提高了单位显存能够承载的有效搜索状态数量。通过减少状态存储开销并提升 GPU 内存利用率，PackingStar 能够在相同硬件资源下维持更大的可行解集合，为强化学习智能体提供更加丰富的探索轨迹，并进一步扩展高维几何空间中的搜索能力。
图4，自适应混合精度状态管理机制（图截取自纪录片）
3、分布式环境采样与策略学习
在 PackingStar 中，强化学习双智能体在不断推进一个具体的 Gram Matrix 填充过程。每一次环境交互对应一次几何构造尝试：Filler 智能体选择一个尚未确定的矩阵元素进行填充，Corrector 智能体根据当前结构识别低质量填充，并引导后续修正。智能体需要经历大量这样的矩阵演化过程，才能逐渐学习哪些局部 cosine 关系更可能形成更大规模、更高质量的球体排列。因此，限制系统探索能力的关键并不仅是单步矩阵验证速度，而是单位时间内能够推进多少个独立的矩阵填充过程。若所有搜索都沿着单一路径顺序展开，系统只能看到有限的一类几何演化轨迹，大量 GPU 计算资源也会因为等待单个矩阵状态更新而无法充分利用。同时，由单一搜索路径产生的样本往往集中在相似的局部结构附近，降低了探索不同几何模式的能力。
为解决这一问题，PackingStar 将矩阵填充环境进行并行化，在多个 GPU 上同时运行大量独立的 Gram Matrix 演化实例。每个实例从不同的矩阵状态或搜索分支出发，独立尝试不同的填充序列，并持续产生“填充动作—矩阵状态—几何反馈”的交互数据。随后，这些来自不同几何搜索路径的数据被汇总，用于更新 Filler 和 Corrector 智能体，使策略能够从更多样化的构型演化过程中学习。这种分布式设计带来的提升并不仅仅是增加训练样本数量，而是扩大了 PackingStar 能够同时探索的数学可能性空间。例如，在单个环境中，智能体可能沿着某一种局部 cosine 结构逐渐优化；而多个 GPU 上并行运行的环境则可以同时探索不同的填充顺序、不同的局部结构组合以及不同的几何演化路径。最终，更多并行环境意味着更多潜在构型被尝试，也意味着更高概率发现新的极值结构。
在策略学习阶段，GPU 同样承担核心计算任务。大量矩阵填充轨迹需要被批量输入策略网络，用于预测下一步更有潜力的填充位置和修正动作。通过 GPU 加速的批量推理和参数更新，PackingStar 能够快速吸收新发现的几何模式，并将其反馈到后续搜索过程中，形成“探索—学习—再探索”的闭环。随着 GPU 数量增加，PackingStar 可以同时推进更多 Gram Matrix 搜索实例，覆盖更广泛的构型演化路径，并持续扩大高维几何空间中的探索范围。对于这一类数学发现任务而言，GPU 扩展的不只是计算速度，而是 AI 能够同时尝试的数学结构数量。在实际扩展过程中，随着 GPU 数量增加，PackingStar 能够同时运行的矩阵填充实例数量近似线性增长，候选结构验证吞吐和有效探索轨迹生成速度也呈现接近线性的加速趋势。这意味着增加计算资源并不仅仅缩短单次实验时间，而是直接扩大了单位时间内能够探索的几何构型数量，使系统能够覆盖更多潜在的结构演化路径。对于 PackingStar 而言，多 GPU 并行的意义在于将计算能力转化为数学探索能力：更多 GPU 意味着更多独立的 Gram Matrix 演化过程、更丰富的高维几何经验，以及更高概率发现新的极值构型。通过这种计算架构与数学搜索过程的协同设计，GPU 成为了扩展 AI 数学发现边界的重要基础设施。
图5，碎片化后进行并行演化轨迹探索（图截取自纪录片）
研究结果把问题推向新高度
PackingStar 的成果不仅体现在刷新亲吻数问题中的多个最佳已知记录，更重要的是，它展示了 AI 在高维数学空间中发现新结构规律的能力。通过探索大规模极值构型空间，PackingStar 在亲吻数及相关球面编码问题中突破了40多项长期保持的结果，其中包括多个超过30至50年未被改进的高维构型。
这些突破并非简单地对已有排列进行局部调整，而是来自对高维几何结构的重新组织。PackingStar 发现了大量具有明确规律的极值构型，并进一步揭示了不同维度、不同经典数学构造之间的潜在联系。例如，系统发现的25维新构型与著名 Leech lattice 相关结构存在深层关联；同时，在更高维球面编码问题中，PackingStar 还发现了具有强对称性的结构，包括基于 Fischer 群 Fi22 的78维球面码实现，展示了有限群对称性与高维几何构型之间的新联系。更重要的是，PackingStar 推动了研究对象本身的改变。传统方法通常关注寻找某一个最优构型，而 PackingStar 通过系统探索大量具有相同极值性质的结构，帮助研究团队提出了新的数学对象——“极值构型空间”（extremal configuration space）。这一视角揭示了不同构型之间共享的几何骨架、对称规律以及跨维度生成关系，使 AI 发现的不再只是孤立答案，而是一系列可解释、可推广的数学结构。除了亲吻数问题，PackingStar 的方法还被应用于更广泛的球面编码等组合几何问题，并产生了多个新的构造结果。这些发现表明，AI 在数学领域的价值不仅在于优化已有目标，更在于帮助人类探索此前难以系统研究的结构空间，并为新的理论发展提供方向。
